大数法则在保险中的应用有哪些?
目前，保险问题在我国是一个热点问题.保险公司为各企业、各单位和个人提供了各种各样的保险保障服务，人们总会预算某一业务对自己的利益有多大，会怀疑保险公司的大量赔偿是否会亏本.它的数理依据是大数定理的合理分摊，化整为零，因此大数法则是保险业存在、发展的基础.大数定律是保险业经营的一个重要数理基础.
(一)制定保费
以切比雪夫大数定律为例，该极限定理运用到保险行业，相当于有n个投保人或被保险人，同时投保n个相互独立的保险标的，用表示每个标的实际发生损失的大小.其中，为理论上每个投保人应缴纳的纯保费，为平均每个被保险人实际获得的赔款金额.当投保人数足够多，即n∞时，实际赔款金额等于理论上的纯保费.这一定律说明在承保标的的数量足够大时，保险人收取的纯保费应与被保险人所能获得赔款金额的期望值相等.
例1、据统计，某年龄的健康人在五年内死亡的概率为0.998，某保险公司准备开办该年龄段的五年人寿保险业务，预计有2500人参加保险，条件是参加保险者交保险金12元，若五年内死亡，公司支付赔偿金b元(b待定)，
便有以下几个问题：
1、确定b，使保险公司期望盈利;
2、确定b，使保险盈利超过1万元的可能性大于95%;
3、若赔偿金b=2000元，欲使保险公司盈利2万元的可能性大于99%，每位参保者至少需交保险金a为多少元?
X 12 12-b
0.998 0.002
解：(1)设X表示保险公司在每一个参保者身上所得的收益，则X为随机变量，服从两点分布，其分布规律为
故保险公司在每一位参保者身上获的平均收益
若要使保险公司期望盈利，则应有
于是可得
即当元时保险公司期望盈利.
(2)欲使保险公司盈利超过1万元，应满足：
由此得出死亡人数：
故若使保险公司期望盈利超过1万元等价于，要使其可能性大于95%，
即
查泊松分布表得，即得b=2222(元)
即当b=2222元时可使保险公司盈利超过1万元的可能性大于95%.
(3)仍设随机变量Y为2500中死亡人数，则，而公司盈利2万元，
即：
等价死亡人数：
若要使盈利大于99%，即：
同理考虑泊松近似计算可得(元)
即要求每位参保者至少交纳17.6元.
(二)降低被保险人平均危机值
大数定律建立在“大数0”的基础之上，即通过风险承担主体的增多，将保险产品承担的风险在更多风险单位中分摊.假设保险人承保了n个危险相同、相互独立的风险单位，我们用相互独立且同分布的随机变量表示每个保险单位的损失量，对单个被保险人而言，面临的损失是实际损失与期望损失E(X)(总体X与期望值相同)的偏差，用X的标准差表示。
有平均每个被保险人的损失与损失偏差分别为
，这样，n个保险人面临的总体损失为，其方差为，标准差为，而将每个被保险人看作单个个体他们所面临的危险总和为，显然，即保险人面临的整体危险小于所有单个被保险人面临的危险总和.所以，如果将n个被保险人看成一个整体，则每个被保险人面临的平均危险随着被保险人数的增加而减少。
大数法则与小数定律的区别是什么?
在统计学和经济学中,最重要的一条规律是“大数定律”,即随机变量在大量重复实验中呈现出几乎必然的规律,样本越大、则对样本期望值的偏离就越小.例如,抛掷硬币出现正面的概率或期望值是0.5,但如果仅抛掷一次,则出现正面的概率是0或1(远远偏离0.5).随着抛掷次数的增加(即样本的增大),那么硬币出现正面的概率就逐渐接近0.5.但根据认知心理学的“小数定律”,人们通常会忽视样本大小的影响,认为小样本和大样本具有同样的期望值.例如,如果某个厂长连续两年取得了很好的业绩,那么人们就会认为该厂长的业务能力很强;但实际上,这两年也许恰好是宏观经济比较理想的年份,任何人都会取得好业绩.在这里,人们实际上把小样本的期望值视为大样本(即年份较多)才具有的期望值.另一个常见的例子是所谓的“赌徒谬误”.例如在抛掷硬币时,人们通常认为下一次出现正面的概率与已经出现正面的次数负相关.如果连续抛掷10次硬币都是正面,那么人们会觉得下一次出现反面的可能性很大;实际上,每次抛掷硬币出现正面或反面的概率都是0.5,它与已经出现过多少次正面没有关系.大数定律是不确定情形下各种经济理论的基石,如果人们真的是按照小数定律而非大数定律做出判断,那么现有的经济理论就需要重大的修正了.又称"大数定律"或"平均法则".人们在长期的实践中发现,在随机现象的大量重复中往往出现几乎必然的规律,即大数法则.此法则的意义是：风险单位数量愈多,实际损失的结果会愈接近从无限单位数量得出的预期损失可能的结果.据此,保险人就可以比较精确的预测危险,合理的厘定保险费率,使在保险期限内收取的保险费和损失赔偿及其它费用开支相平衡.大数法则是近代保险业赖以建立的数理基础.保险公司正是利用在个别情形下存在的不确定性将在大数中消失的这种规则性,来分析承保标的发生损失的相对稳定性.按照大数法则,保险公司承保的每类标的数目必须足够大,否则,缺少一定的数量基础,就不能产生所需要的数量规律.但是,任何一家保险公司都有它的局限性,即承保的具有同一风险性质的单位是有限的,这就需要通过再保险来扩大风险单位及风险分散面.
